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Probabilidad y Dualidad: Desde el Lanzamiento de Monedas hasta la Geometría de Alta Dimensión

2025-09-21

Este artículo explora varios problemas de probabilidad aparentemente no relacionados, como la probabilidad de que exista un camino en un grafo aleatorio y la probabilidad de que la envoltura convexa de cuatro puntos en un círculo unitario contenga el origen, ambos sorprendentemente iguales a 1/2. El autor utiliza hábilmente trucos de dualidad y argumentos combinatorios para revelar las conexiones profundas detrás de estos problemas. Al analizar el número de celdas cortadas de un espacio de alta dimensión por hiperplanos lineales y estudiar las propiedades de matrices aleatorias, el autor finalmente explica estos resultados de probabilidad y plantea varios problemas matemáticos no resueltos, lo que lleva a los lectores a reflexionar sobre la curiosa relación entre probabilidad, geometría y dualidad.

Los Secretos Sorprendentes Escondidos en la Entropía de una Mezcla

2025-07-01

Este artículo profundiza en la relación entre la entropía de una mezcla de funciones de densidad de probabilidad y su factor de interpolación. El autor revela que la entropía, como función de probabilidades, es cóncava, y esta concavidad está directamente relacionada con la información mutua entre las dos distribuciones. Introduciendo una variable de Bernoulli y el concepto de entropía condicional, el artículo explica elegantemente cómo la información mutua cuantifica el cambio en la sorpresa esperada de una predicción, dado el conocimiento del factor de mezcla. Además, introduce un concepto nuevo, 'proclividad', conectándolo a la divergencia KL y a la entropía cruzada. El artículo también discute la divergencia de Jensen-Shannon y la divergencia de Neyman χ² que aparece en expansiones de Taylor de orden superior. En última instancia, concluye que la función de entropía de la mezcla describe completamente la distribución de las razones de verosimilitud entre las dos distribuciones de probabilidad, ofreciendo una nueva perspectiva para comprender la relación entre distribuciones de probabilidad.