この記事は、ジョーダン代数、オクトニオン、リーチ格子の深い関係を探求します。1930年代のパスクアル・ジョーダンによるエルミート行列の代数的性質に関する研究から始まり、形式的に実数のジョーダン代数とその分類、特に特別な27次元の例外型ジョーダン代数を紹介します。これを基に、ジョーダン代数から射影空間を構築する方法を説明し、例外型ジョーダン代数によって生成されるオクトニオン射影平面に焦点を当てます。最後に、オクトニオンエルミート行列から構築された異次元時空と、その中に存在するユニークな積分単模格子であるリーチ格子について深く掘り下げます。驚くべき発見は、この格子がE6群の作用下で2つの異なる軌道を持つことであり、これは従来の理解とは異なります。
幾何測度論の分野で大きな進歩がありました！Hong WangとJoshua Zahlによるプレプリント論文で、悪名高い3次元カケヤ集合予想が解決されました。この予想は、あらゆる方向に単位線分を含むカケヤ集合は、ミンコフスキー次元とハウスドルフ次元が共に3でなければならないと主張しています。127ページに及ぶこの証明では、反復的な帰納法を用いて、「粘着性」のある場合と「粘着性」のない場合を巧みに扱っています。この画期的な結果は、数十年にわたる研究の積み重ねであり、以前の成果と斬新なアイデアを統合したもので、幾何測度論における重要なマイルストーンとなります。
数学者たちは、特別な種類の関数であるモジュラー形式が、複素平面上の独自の変換特性に由来する無限の対称性を有することを発見しました。これらの変換は基本領域を平面の上半分全体に複製し、特定の規則に従ってコピーを関連付けます。一見単純な幾何学的操作ですが、非常に強力です。ヘッケの理論は、モジュラー形式が特定の空間にあることを明らかにし、その無限の対称性を活用して、整数を4つの平方数の和として表現するといった問題に取り組むことができます。数列を母関数に変換することで、関数がモジュラー形式であれば、係数を正確に計算でき、無限の可能性が開けます。これは、数学と物理学の多くの問題解決に強力なツールを提供します。