著者は、20年前に執筆した実解析の教科書「解析I」を、Lean証明支援システムを用いて形式化しています。これは単純な翻訳ではなく、定義、定理、演習をLeanコードに変換する作業です。読者はコード中の「sorries」を埋めることで演習を解き、LeanとMathlibライブラリを学ぶことができます。現在、いくつかのセクションが変換されており、自然数の「手作業」による構成からMathlib標準ライブラリへの移行が戦略的に設計されています。著者はボランティアによるテストとプロジェクトの改善を呼びかけています。
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開発者がPythonとSymPyライブラリを使用して、対話型の数学証明アシスタントを構築しました。これは、スカラー関数を含む漸近推定を半自動的に証明します。Lean証明アシスタントを模倣し、線形算術と対数線形算術をサポートしており、ユーザーは高度な戦術を提供することで証明プロセスをガイドできます。現在、Pythonの対話モードで実行されていますが、将来はグラフィカルユーザーインターフェースを追加する予定です。開発者は、関数空間ノルムの推定など、より幅広い数学的タスクを処理するために、このツールを拡張する予定です。
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本論文は、非標準解析を用いて漸近記法と無限大の次数を研究する新しい手法を探求しています。従来の解析では、無限大の次数を扱うために複雑なイプシロン-デルタ論法が必要でした。しかし、非標準解析は超フィルターの導入により、多くの量化子を巧みに隠蔽し、問題をより代数的な性質の問題に変換します。論文では、非標準の枠組みにおいて、無限大の次数が全順序ベクトル空間を形成し、実数の完全性と類似した完全性を持つことを示しています。この代数的な手法は、特に記号計算において、漸近記法の計算を簡素化しますが、明示的な定数を抽出する能力を犠牲にします。
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この記事では、漸近的推定値、特に加算、乗算、除算、べき乗、最小値/最大値などの算術演算を使用して組み合わせられた有限個の正の実数を含む推定値を自動的に検証するためのPythonツールについて説明します。このツールは、ケース分割と線形計画法を使用して、不等式が成り立つかどうかを自動的に判定し、証明または反例を提供します。著者は、自身の経験に基づいてツールの有用性を示し、より複雑な式を処理することや既存の数学ソフトウェアプラットフォームへの統合など、将来的な改善点について議論しています。
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新しい論文では、階乗をできるだけ大きな因子に分解するという問題を研究しています。エルデシュらはこれに関する予想を立てていましたが、証明が失われていました。この論文では、素数定理と近似分解の巧妙な応用により、新しい上限と下限を与え、この長年の問題を部分的に解決し、残りの予想を完全に解決するための新たな道筋を提供しています。
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幾何測度論の分野で大きな進歩がありました！Hong WangとJoshua Zahlによるプレプリント論文で、悪名高い3次元カケヤ集合予想が解決されました。この予想は、あらゆる方向に単位線分を含むカケヤ集合は、ミンコフスキー次元とハウスドルフ次元が共に3でなければならないと主張しています。127ページに及ぶこの証明では、反復的な帰納法を用いて、「粘着性」のある場合と「粘着性」のない場合を巧みに扱っています。この画期的な結果は、数十年にわたる研究の積み重ねであり、以前の成果と斬新なアイデアを統合したもので、幾何測度論における重要なマイルストーンとなります。
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近年、アメリカの住宅における電力消費量はわずかに減少しており、それは主に照明効率の向上、特にLED電球の普及によるものです。この省エネルギー革命の背景には、予想外の原動力があります。純粋数学におけるブレイクスルー、ランドスケープ関数です。当初は純粋に数学的な発見でしたが、この関数は現在、効率的なLED設計の中核となっています。数値シミュレーションを通じて、ランドスケープ関数は研究者たちが「グリーンギャップ」（効率的なグリーンLEDの不足）を克服するのを助け、LEDの研究開発を加速させ、アメリカの消費者のエネルギーコストを数十億ドル節約しました。
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この記事では、四元数の代数的性質を利用して、球面三角法の「マスター方程式」を導出し、球面余弦定理、球面正弦定理、ネピアの法則をエレガントに証明します。著者は、四元数を球面三角形の辺と角の関係に巧みに結びつけ、回転と内積を用いて簡潔で美しい公式を導き出します。日の出、日の入りの時間計算などの実際的な問題への応用についても議論されており、幾何学的問題における四元数の威力を示しています。
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著名な数学者テレンス・タオの最新のarXivプレプリントでは、ガウスユニタリアンサンブル（GUE）とその小行列の固有値分布を固定インデックスで深く掘り下げています。行列式過程と洗練された解析的手法を用いて、固有値ギャップに関するいくつかの推定値を確立し、これまで未解決だった問題に取り組み、GUE境界条件を持つ「ハニカム」の極限挙動に関する将来の研究への道を開いています。この研究は、ランダム行列モデルとその関連分野の理解に大きく貢献します。
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