位相空間における穴：ホモトピー同値と弱ホモトピー同値

この記事では、位相空間における「穴」の概念を探求し、ホモトピー同値と弱ホモトピー同値という2つの同値関係を導入します。ホモトピー同値は、「穴」の数を維持したまま空間を変形することを許容します。例えば、コーヒーカップとトーラスはホモトピー同値です。弱ホモトピー同値はより緩やかで、局所的な構造が異なっていても、空間が同じホモトピー群を持つことを要求するだけです。この記事では、ホモトピー群の概念を詳しく説明し、トーラスの例を用いて、ホモトピー群を用いて空間の「穴」をどのように特定するかを説明します。最後に、グロタンディークの予想、つまり無限グロープイドが弱ホモトピー同値までの位相空間に関するすべての情報を捉えるという予想について触れ、これは弱分解系とクィレンモデル圏と密接に関連しています。