Probabilité et dualité : des lancers de pièces à la géométrie de haute dimension
Cet article explore plusieurs problèmes de probabilité apparemment sans lien, tels que la probabilité qu’un chemin existe dans un graphe aléatoire et la probabilité que l’enveloppe convexe de quatre points sur un cercle unitaire contienne l’origine, tous deux étonnamment égaux à 1/2. L’auteur utilise habilement des astuces de dualité et des arguments combinatoires pour révéler les liens profonds qui sous-tendent ces problèmes. En analysant le nombre de cellules découpées dans un espace de haute dimension par des hyperplans linéaires et en étudiant les propriétés des matrices aléatoires, l’auteur explique finalement ces résultats de probabilité et pose plusieurs problèmes mathématiques non résolus, incitant les lecteurs à réfléchir à la curieuse relation entre probabilité, géométrie et dualité.
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