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Formalizando Análise I em Lean: Um Projeto de Aprendizagem Interativo

2025-05-31
Formalizando Análise I em Lean: Um Projeto de Aprendizagem Interativo

O autor está formalizando seu livro didático de análise real de 20 anos, "Análise I", usando o assistente de prova Lean. Isso não é uma simples tradução; envolve converter definições, teoremas e exercícios em código Lean. Os leitores podem completar os exercícios preenchendo 'sorries' no código, aprendendo Lean e a biblioteca Mathlib ao longo do caminho. O projeto atualmente inclui várias seções traduzidas, fazendo uma transição estratégica da construção 'manual' de números naturais para a biblioteca padrão Mathlib. O autor convida voluntários para testar e melhorar o projeto.

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(terrytao.wordpress.com)
Desenvolvimento análise real

Assistente de Prova Matemática Interativo Construído com Python e SymPy

2025-05-13
Assistente de Prova Matemática Interativo Construído com Python e SymPy

Um desenvolvedor criou um assistente de prova matemática interativo usando Python e a biblioteca SymPy. Ele prova semi-automaticamente estimativas assintóticas envolvendo funções escalares. Imitando o assistente de prova Lean, a ferramenta suporta aritmética linear e aritmética log-linear, permitindo que os usuários guiem o processo de prova fornecendo táticas de alto nível. Atualmente funcionando no modo interativo do Python, uma interface gráfica do usuário está planejada para o futuro. O desenvolvedor pretende expandir a ferramenta para lidar com uma gama mais ampla de tarefas matemáticas, como a estimativa de normas de espaços funcionais.

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Desenvolvimento

Repensando Ordens de Infinito com Análise Não Padrão: Uma Abordagem Algébrica

2025-05-04
Repensando Ordens de Infinito com Análise Não Padrão: Uma Abordagem Algébrica

Este artigo explora uma nova abordagem para o estudo de notação assintótica e ordens de infinito usando análise não padrão. A análise tradicional depende de argumentos complexos épsilon-delta para lidar com ordens de infinito. No entanto, a análise não padrão esconde habilmente muitos quantificadores por meio da introdução de ultrafiltros, transformando o problema em um com uma natureza mais algébrica. O artigo demonstra que, no arcabouço não padrão, as ordens de infinito formam um espaço vetorial totalmente ordenado e possuem uma propriedade de completude que lembra a completude dos números reais. Essa abordagem algébrica simplifica os cálculos com notação assintótica, especialmente em computação simbólica, mas sacrifica a capacidade de extrair constantes explícitas.

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Desenvolvimento análise não padrão notação assintótica ordens de infinito

Automatizando a Verificação de Estimativas Assintóticas: Uma Ferramenta Python

2025-05-02
Automatizando a Verificação de Estimativas Assintóticas: Uma Ferramenta Python

Esta publicação descreve uma ferramenta Python para verificar automaticamente estimativas assintóticas, especialmente aquelas envolvendo um número finito de números reais positivos combinados usando operações aritméticas como adição, multiplicação, divisão, exponenciação e mínimo/máximo. A ferramenta usa divisão de casos e programação linear para determinar automaticamente se uma desigualdade é verdadeira, fornecendo uma prova ou contra-exemplo. O autor ilustra a utilidade da ferramenta com exemplos pessoais e discute melhorias futuras, como lidar com expressões mais complexas e integração em plataformas de software matemático existentes.

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Desenvolvimento estimativas assintóticas verificação automática

Decompondo Fatoriais em Fatores Grandes: Progresso em uma Conjectura Antiga

2025-03-28
Decompondo Fatoriais em Fatores Grandes: Progresso em uma Conjectura Antiga

Um novo artigo estuda o problema de fatorar um fatorial em fatores o maior possível. Erdős e outros propuseram uma conjectura sobre isso, mas a prova foi perdida. Este artigo, usando aplicações inteligentes do teorema do número primo e fatoração aproximada, fornece novos limites superior e inferior, resolvendo parcialmente este problema de longa data e oferecendo novas vias para resolver completamente as conjecturas restantes.

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Desenvolvimento combinatória

Avanço Inovador: Conjectura de Kakeya 3D Resolvida

2025-03-02
Avanço Inovador: Conjectura de Kakeya 3D Resolvida

Um grande avanço na teoria da medida geométrica! O preprint de Hong Wang e Joshua Zahl resolve a infame conjectura do conjunto de Kakeya tridimensional. A conjectura afirma que um conjunto de Kakeya - um subconjunto contendo um segmento de reta unitário em todas as direções - deve ter dimensão de Minkowski e Hausdorff iguais a três. A prova, com 127 páginas, utiliza um argumento de indução iterativa, tratando habilmente os casos 'aderentes' e 'não aderentes'. Este resultado marcante baseia-se em décadas de trabalho, incorporando descobertas anteriores e ideias novas, marcando um marco significativo na teoria da medida geométrica.

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Matemática Conjectura de Kakeya Teoria da Medida Geométrica Avanço Matemático

Como a matemática iluminou a América: a função paisagem e a revolução de energia LED

2025-02-24
Como a matemática iluminou a América: a função paisagem e a revolução de energia LED

O consumo de eletricidade residencial nos EUA diminuiu ligeiramente nos últimos anos, principalmente devido a melhorias na eficiência de iluminação, especificamente a adoção generalizada de lâmpadas LED. Por trás dessa revolução energética está um motor inesperado: um avanço na matemática pura - a função paisagem. Inicialmente uma descoberta puramente matemática, essa função agora é central no projeto de LEDs eficientes. Por meio de simulações numéricas, a função paisagem ajudou os pesquisadores a superar a "lacuna verde" (a falta de LEDs verdes eficientes), acelerando a P&D de LEDs e economizando bilhões de dólares em custos de energia para os consumidores americanos.

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Tecnologia

Desvendando a Trigonometria Esférica com Quatérnios

2025-01-30
Desvendando a Trigonometria Esférica com Quatérnios

Este artigo utiliza as propriedades algébricas dos quatérnios para derivar uma 'equação mestre' para a trigonometria esférica, demonstrando elegantemente a lei dos cossenos esféricos, a lei dos senos esféricos e as regras de Napier. O autor conecta habilmente os quatérnios às relações entre os lados e ângulos dos triângulos esféricos, usando rotações e produtos internos para derivar fórmulas concisas e elegantes. Aplicações a problemas práticos, como o cálculo do horário do nascer e pôr do sol, são discutidas, mostrando o poder dos quatérnios em problemas geométricos.

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Diversos quatérnios trigonometria esférica

Novo artigo de Tao: Investigando a distribuição de autovalores de GUE e suas menores

2024-12-22
Novo artigo de Tao: Investigando a distribuição de autovalores de GUE e suas menores

Em seu último preprint no arXiv, o renomado matemático Terence Tao investiga a distribuição de autovalores do Conjunto Unitário Gaussiano (GUE) e suas menores em índices fixos. Usando processos determinantais e técnicas analíticas sofisticadas, o artigo estabelece várias estimativas sobre lacunas de autovalores, abordando questões anteriormente sem resposta e abrindo caminho para trabalhos futuros sobre o comportamento limitante de 'colmeias' com condições de contorno GUE. Esta pesquisa contribui significativamente para a compreensão de modelos de matrizes aleatórias e campos relacionados.

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(terrytao.wordpress.com)
Desenvolvimento matrizes aleatórias distribuição de autovalores