Webtagr - Sumário de Notícias de Tecnologia

Quantas dimensões tem uma linha?

2025-09-08

Este artigo explora a definição de dimensionalidade em formas geométricas. O autor começa com uma abordagem intuitiva baseada em contenção espacial, mas este método falha ao lidar com segmentos de linha curvos. Uma abordagem de 'graus de liberdade' é então proposta, mas esta também se mostra ambígua. Finalmente, o autor introduz a dimensão de Minkowski, um método mais preciso usando contagem de caixas que pode lidar até mesmo com formas fractais, resultando em dimensões não inteiras - por exemplo, o triângulo de Sierpinski tem uma dimensão de aproximadamente 1,6.

(lcamtuf.substack.com)

Matemática

Visualizando Autovalores Complexos de Matrizes Reais com Gráficos 3D

2025-07-21

Este artigo explora o gráfico 3D da equação x²+(y+zi)²=1 (onde x, y, z são números reais e i é a unidade imaginária), revelando um círculo e uma hipérbole. Separando a equação em partes real e imaginária, obtemos dois casos: quando y=0, x²-z²=1 (uma hipérbole); quando z=0, x²+y²=1 (um círculo unitário). Essa visualização fornece insights sobre o comportamento de autovalores complexos de matrizes reais que dependem de um parâmetro real. Dois exemplos de matrizes 2x2 são fornecidos, demonstrando como esse método analisa autovalores. O artigo conclui sugerindo que essa abordagem pode ser estendida a outras matrizes 2x2 dependentes de um único parâmetro real.

(tobylam.xyz)

Matemática autovalores

Uma Nova Constante Complexa Derivada da Razão Áurea e sua Conjectura de Transcendência

2025-06-22

Um artigo de pesquisa de Tristen Harr introduz e analisa uma nova constante complexa, ΛG1, derivada de potências inversas da razão áurea, ϕ. Definida como ΛG1 = T + iJ, onde T = 1/(2ϕ) e J = 1/(2ϕ²), é provado ser um número algébrico com magnitude menor que um, adequado como argumento para a função Polilogaritmo, Lis(z). Avaliações numéricas de alta precisão para o Dilogaritmo (s=2) e o Trilogaritmo (s=3) sugerem que Lis(ΛG1) é transcendente para todos os inteiros s≥2 e reside fora da extensão de campo Q(π, ln(2), ϕ). Esta pesquisa é parcialmente motivada por potenciais aplicações em estudos de quase-cristais, onde a razão áurea é fundamental.

(zenodo.org)

Matemática razão áurea número transcendente

A Conjectura da Universalidade e uma Aposta em Grafos de Ramanujan

2025-04-20

O limite de Alon-Boppana representou um desafio fascinante: construir grafos que alcançassem esse limite. Sarnak, Lubotzky e Phillips usaram a teoria dos números para criar 'grafos de Ramanujan' que atingiram esse limite. Uma aposta surgiu entre Alon e Sarnak sobre a proporção de grafos de Ramanujan entre todos os grafos regulares. Anos depois, Horng-Tzer Yau, aproveitando a conjectura da universalidade para matrizes aleatórias, resolveu esse problema, decidindo definitivamente a aposta de décadas.

(www.quantamagazine.org)

Matemática conjectura da universalidade

Além da Realidade: De Álgebras de Jordan à Rede de Leech em um Espaço-Tempo Exótico

2025-03-17

Este artigo explora as conexões profundas entre álgebras de Jordan, octônios e a rede de Leech. Começando com o trabalho de Pascual Jordan na década de 1930 sobre as propriedades algébricas de matrizes hermitianas, ele apresenta álgebras de Jordan formalmente reais e sua classificação, incluindo uma álgebra de Jordan excepcional de 27 dimensões. Com base nisso, o artigo explica como os espaços projetivos são construídos a partir de álgebras de Jordan, focando no plano projetivo octoniônico gerado pela álgebra de Jordan excepcional. Finalmente, ele se aprofunda em um espaço-tempo exótico construído a partir de matrizes hermitianas octoniônicas e uma rede unimodular integral única dentro dele — a rede de Leech. Uma descoberta surpreendente é que esta rede exibe duas órbitas distintas sob a ação do grupo E6, ao contrário da compreensão usual.

(cp4space.hatsya.com)

Matemática álgebras de Jordan octônios rede de Leech

Avanço Inovador: Conjectura de Kakeya 3D Resolvida

2025-03-02

Um grande avanço na teoria da medida geométrica! O preprint de Hong Wang e Joshua Zahl resolve a infame conjectura do conjunto de Kakeya tridimensional. A conjectura afirma que um conjunto de Kakeya - um subconjunto contendo um segmento de reta unitário em todas as direções - deve ter dimensão de Minkowski e Hausdorff iguais a três. A prova, com 127 páginas, utiliza um argumento de indução iterativa, tratando habilmente os casos 'aderentes' e 'não aderentes'. Este resultado marcante baseia-se em décadas de trabalho, incorporando descobertas anteriores e ideias novas, marcando um marco significativo na teoria da medida geométrica.

(terrytao.wordpress.com)

Matemática Conjectura de Kakeya Teoria da Medida Geométrica Avanço Matemático

Formas Modulares: Desvendando Simetrias Ocultas e Possibilidades Infinitas

2025-02-24

Os matemáticos descobriram que as formas modulares, um tipo especial de função, possuem simetrias infinitas derivadas de suas propriedades de transformação únicas no plano complexo. Essas transformações replicam o domínio fundamental para toda a metade superior do plano, relacionando as cópias por meio de regras específicas. Embora pareçam operações geométricas simples, elas possuem um poder imenso. A teoria de Hecke revelou que as formas modulares residem em espaços específicos, permitindo-nos utilizar suas simetrias infinitas para resolver problemas como representar inteiros como somas de quatro quadrados. Convertendo sequências em funções geradoras, se a função for uma forma modular, os coeficientes podem ser calculados precisamente, abrindo possibilidades infinitas. Isso fornece uma ferramenta poderosa para resolver inúmeros problemas em matemática e física.

(www.quantamagazine.org)

Matemática formas modulares simetria

A Função Monstruosa Que Quebrou o Cálculo

2025-01-24

No século XIX, Karl Weierstrass revelou uma função que abalou a comunidade matemática. Contínua em todos os lugares, mas não diferenciável em nenhum, ela se assemelhava a um dente de serra infinitamente irregular, desafiando a intuição e questionando os fundamentos do cálculo. Suas propriedades aparentemente paradoxais forçaram os matemáticos a redefinir rigorosamente continuidade e diferenciabilidade, culminando no desenvolvimento da análise moderna. Esse 'monstro matemático' não apenas possui significado teórico, mas também encontra aplicações práticas em campos como o movimento browniano, demonstrando as possibilidades ilimitadas da matemática.

(www.quantamagazine.org)

Matemática função de Weierstrass análise matemática

Avanço no Problema do Beijo: Uma Nova Abordagem para um Problema Antigo

2025-01-16

Por mais de três séculos, matemáticos têm lutado com o problema do número de beijos: quantos esferas idênticas podem tocar uma esfera central sem sobreposição? Embora a resposta seja 12 em três dimensões, dimensões superiores permanecem um mistério. Recentemente, a estudante de graduação do MIT Anqi Li e o Professor Henry Cohn elaboraram uma nova abordagem, abandonando as suposições tradicionais de simetria. Sua estratégia incomum e assimétrica melhorou as estimativas para o número de beijos nas dimensões 17 a 21, marcando o primeiro progresso nessas dimensões desde a década de 1960. Essa descoberta desafia os métodos estabelecidos baseados na teoria da informação e em códigos de correção de erros, abrindo novas vias para a solução deste enigma matemático duradouro.

(www.quantamagazine.org)

Matemática Geometria Dimensões Superiores

Podemos entender esta prova? Uma janela para a matemática formalizada

2025-01-10

Stephen Wolfram investiga um enigma matemático de longa data: a prova de um axioma surpreendentemente simples para a álgebra booleana. Gerada usando prova de teoremas automatizada, a prova é incrivelmente complexa e permanece incompreensível para humanos. O artigo explora as intrincadas da prova, disseca suas operações em nível de 'código de máquina' e propõe um desafio: humanizar essa prova. Discute o potencial de Modelos de Linguagem Grandes (LLMs) para entender e simplificar a prova, e as implicações para o futuro da matemática. A conclusão sugere que algumas provas matemáticas podem ser inerentemente ininterpretáveis, indicando que a matemática se assemelhará cada vez mais a uma ciência experimental.

(writings.stephenwolfram.com)

Matemática prova de teoremas automatizada matemática formalizada irreducibilidade computacional

Problema matemático secular resolvido: provando a irracionalidade de ζ(3)

2025-01-09

Este artigo reconta a história lendária da prova do matemático Roger Apéry em 1978 de que ζ(3) (a função zeta de Riemann em 3) é irracional. Sua prova foi recebida com ceticismo e até causou caos na conferência onde foi apresentada. No entanto, Apéry foi finalmente provado correto. Por anos, matemáticos lutaram para expandir o método de Apéry com pouco progresso. Recentemente, Calegari, Dimitrov e Tang desenvolveram um método mais poderoso, provando a irracionalidade de uma série de valores semelhantes à zeta, incluindo ζ(3), resolvendo um problema de décadas. Esta descoberta reside não apenas em seu resultado, mas também na generalidade de sua abordagem, fornecendo novas ferramentas para futuras provas de irracionalidade.

(www.quantamagazine.org)

Matemática números irracionais

O Tamanho do Infinito: Matemáticos se Aproximam da Resposta de Quantos Números Reais Existem

2025-01-09

Por décadas, matemáticos acreditaram que determinar o número total de números reais era um problema insolúvel. Uma nova prova sugere o contrário. O artigo detalha como os matemáticos Asperó e Schindler provaram que dois axiomas anteriormente considerados fundamentos concorrentes para a matemática infinita, na verdade, implicam um ao outro. Essa descoberta fortalece o argumento contra a hipótese do contínuo e indica que existe um tamanho extra de infinito entre os dois que, 143 anos atrás, eram hipotetizados como os primeiro e segundo números infinitamente grandes. Embora esse resultado tenha gerado entusiasmo e debates na comunidade matemática, os argumentos em torno dos tamanhos de conjuntos infinitos estão longe de serem resolvidos.

(www.quantamagazine.org)

Matemática hipótese do contínuo infinito

Infinitesimais Multiplicativos: Uma Nova Abordagem de Cálculo

2025-01-08

Este artigo apresenta um novo conceito chamado "infinitesimais multiplicativos", análogo aos infinitesimais aditivos tradicionais, para construir um novo sistema de cálculo. Ao contrário do cálculo tradicional baseado em diferenças, o cálculo multiplicativo é baseado em quocientes, usando uma notação semelhante à de Leibniz, mas com 'q' em vez de 'd', representando uma perturbação multiplicativa de uma expressão. O autor estabelece a relação entre 'q' e 'd' através de operações logarítmicas e exponenciais e a aplica à teoria da elasticidade e aos cálculos de derivadas multiplicativas. Esta abordagem pode oferecer novas soluções para problemas intratáveis com métodos tradicionais.

(github.com)

Matemática cálculo infinitesimais

Matemáticos Descobrem Nova Maneira de Contar Números Primos

2024-12-13

Os matemáticos Ben Green e Mehtaab Sawhney provaram que existem infinitos números primos da forma p² + 4q², onde p e q também são primos. Sua prova utiliza de forma engenhosa as normas de Gowers, uma ferramenta de uma área diferente da matemática, demonstrando seu poder surpreendente na contagem de números primos. Essa descoberta aprofunda nossa compreensão da distribuição de números primos e abre novas possibilidades para pesquisas futuras.

(www.quantamagazine.org)

Matemática números primos teoria dos números normas de Gowers

Category: Matemática