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Les fonctions sont des vecteurs : extension de l’algèbre linéaire aux dimensions infinies

2025-07-06

Cet article explore le concept des fonctions comme vecteurs de dimension infinie, montrant comment les outils de l’algèbre linéaire peuvent être appliqués à un large éventail de problèmes, du traitement d’images et de géométrie à l’ajustement de courbes, au transport de la lumière et à l’apprentissage automatique. En commençant par les espaces vectoriels de dimension finie, il progresse vers les dimensions infinies, prouvant que les fonctions forment un espace vectoriel. L’article approfondit ensuite les opérateurs linéaires, la différenciation, l’opérateur laplacien et l’application du théorème spectral dans les espaces de fonctions, culminant avec des exemples d’application tels que les séries de Fourier, la compression d’images et les harmoniques sphériques.

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Développement espaces de fonctions théorème spectral

Programmation différentiable : une plongée profonde à partir des principes fondamentaux

2025-04-17

Cet article fournit une explication complète de la programmation différentiable, en commençant par la définition des dérivées en calcul et en progressant vers des concepts tels que les gradients, les dérivées directionnelles et les matrices jacobiennes. Il détaille trois méthodes de différenciation : la différenciation numérique, la différenciation symbolique et la différenciation automatique (modes avant et arrière), en comparant leurs forces et leurs faiblesses. Enfin, il montre comment la différenciation automatique en mode arrière, combinée à la descente de gradient, peut résoudre des problèmes d’optimisation du monde réel à l’aide d’un exemple de débrouillage d’image.

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Développement programmation différentiable différenciation automatique

Cours intensif d'échantillonnage de Monte Carlo : échantillonnage par rejet et changement de coordonnées

2025-04-14

Cet article présente deux techniques d'échantillonnage cruciales dans les méthodes de Monte Carlo : l'échantillonnage par rejet et le changement de coordonnées. L'échantillonnage par rejet échantillonne une région plus simple et filtre les échantillons en fonction d'une probabilité d'acceptation pour réaliser l'échantillonnage d'une région complexe. L'article fournit une dérivation détaillée de la fonction de densité de probabilité pour l'échantillonnage par rejet et l'étend aux distributions non uniformes. Le changement de coordonnées utilise le déterminant jacobien pour mapper les échantillons d'une région simple à une région complexe, permettant un échantillonnage efficace. L'article utilise le disque unitaire comme exemple, montrant comment réaliser l'échantillonnage uniforme en utilisant la transformation de coordonnées polaires. Les deux méthodes présentent des avantages et des inconvénients ; l'échantillonnage par rejet est simple et facile à comprendre, mais son efficacité dépend de la probabilité d'acceptation ; le changement de coordonnées est efficace, mais nécessite de trouver des transformations de coordonnées appropriées.

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Développement Échantillonnage de Monte Carlo Échantillonnage par rejet Changement de coordonnées