저자는 20년 전에 집필한 실해석학 교재인 "해석학 I"을 Lean 증명 보조 시스템을 사용하여 형식화하고 있습니다. 이것은 단순한 번역이 아니며, 정의, 정리, 연습 문제를 Lean 코드로 변환하는 작업입니다. 독자는 코드 내의 "sorries"를 채움으로써 연습 문제를 풀고 Lean과 Mathlib 라이브러리를 학습할 수 있습니다. 현재 여러 섹션이 변환되었으며, 자연수의 "수동" 구성에서 Mathlib 표준 라이브러리로의 전환이 전략적으로 설계되었습니다. 저자는 자원봉사자들의 테스트와 프로젝트 개선을 요청하고 있습니다.
더 보기
개발자가 Python과 SymPy 라이브러리를 사용하여 대화형 수학 증명 도우미를 구축했습니다. 이 도우미는 스칼라 함수를 포함하는 점근적 추정을 반자동으로 증명합니다. Lean 증명 도우미를 모방하여 선형 산술과 로그 선형 산술을 지원하며, 사용자는 고급 전술을 제공하여 증명 과정을 안내할 수 있습니다. 현재 Python의 대화형 모드에서 실행되지만, 향후 그래픽 사용자 인터페이스를 추가할 계획입니다. 개발자는 함수 공간 노름 추정 등 더 광범위한 수학적 작업을 처리하기 위해 이 도구를 확장할 예정입니다.
더 보기
본 논문은 비표준 해석을 사용하여 점근적 표기법과 무한대 차수를 연구하는 새로운 방법을 탐구합니다. 기존의 해석에서는 무한대 차수를 다루기 위해 복잡한 엡실론-델타 논증이 필요했습니다. 그러나 비표준 해석은 초필터를 도입함으로써 많은 양자화자를 교묘하게 숨기고, 문제를 더욱 대수적인 성격의 문제로 변환합니다. 논문에서는 비표준 프레임워크 내에서 무한대 차수가 전순서 벡터 공간을 형성하고 실수의 완전성과 유사한 완전성을 갖는다는 것을 보여줍니다. 이러한 대수적 방법은 특히 기호 계산에서 점근적 표기법의 계산을 단순화하지만, 명시적인 상수를 추출하는 능력을 희생합니다.
더 보기
이 글에서는 덧셈, 곱셈, 나눗셈, 거듭제곱, 최소값/최댓값 등의 산술 연산을 사용하여 결합된 유한 개의 양의 실수를 포함하는 점근적 추정, 특히 이러한 추정을 자동으로 검증하기 위한 Python 도구에 대해 설명합니다. 이 도구는 케이스 분할과 선형 계획법을 사용하여 부등식이 성립하는지 자동으로 판단하고 증명 또는 반례를 제공합니다. 저자는 자신의 경험을 바탕으로 도구의 유용성을 보여주고, 보다 복잡한 식을 처리하거나 기존 수학 소프트웨어 플랫폼에 통합하는 등의 향후 개선 사항에 대해 논의합니다.
더 보기
새로운 논문에서는 팩토리얼을 가능한 한 큰 인수로 분해하는 문제를 연구합니다. 에르되시 등은 이에 대한 추측을 제기했지만 증명이 사라졌습니다. 이 논문에서는 소수 정리와 근사 분해의 영리한 응용을 통해 새로운 상한과 하한을 제시하여 오랫동안 미해결로 남아 있던 이 문제를 부분적으로 해결하고 나머지 추측을 완전히 해결하기 위한 새로운 방향을 제시합니다.
더 보기
기하 측도론 분야에서 중대한 돌파구가 마련되었습니다! Hong Wang과 Joshua Zahl의 사전 인쇄본 논문에서 악명 높은 3차원 카케야 집합 추측이 해결되었습니다. 이 추측은 모든 방향으로 단위 선분을 포함하는 카케야 집합은 Minkowski 차원과 Hausdorff 차원이 모두 3이어야 한다고 주장합니다. 127페이지에 달하는 이 증명에서는 반복적인 귀납적 방법을 사용하여 '점착성'이 있는 경우와 없는 경우를 교묘하게 처리합니다. 이 획기적인 결과는 수십 년에 걸친 연구의 결실이며, 이전의 성과와 참신한 아이디어를 통합하여 기하 측도론의 중요한 이정표가 됩니다.
더 보기
최근 몇 년 동안 미국의 주택 전력 소비량이 약간 감소했는데, 이는 주로 조명 효율 향상, 특히 LED 전구의 보급 확산 덕분입니다. 이러한 에너지 절약 혁명 뒤에는 예상치 못한 원동력이 숨겨져 있습니다. 바로 순수 수학 분야의 획기적인 발견인 랜드스케이프 함수입니다. 처음에는 순수 수학적 발견이었지만, 이 함수는 현재 효율적인 LED 설계의 핵심이 되었습니다. 수치 시뮬레이션을 통해 랜드스케이프 함수는 연구자들이 '그린 갭'(효율적인 그린 LED 부족)을 극복하는 데 도움을 주었고, LED 연구 개발을 가속화하여 미국의 소비자들이 수십억 달러의 에너지 비용을 절감할 수 있도록 했습니다.
더 보기
본 논문에서는 사원수의 대수적 성질을 이용하여 구면삼각법의 '마스터 방정식'을 유도하고, 구면 코사인 법칙, 구면 사인 법칙, 네이피어 법칙을 우아하게 증명합니다. 저자는 사원수를 구면삼각형의 변과 각의 관계에 교묘하게 연결하여 회전과 내적을 사용하여 간결하고 아름다운 공식을 유도합니다. 일출, 일몰 시간 계산 등의 실제 문제에 대한 응용도 논의되어 기하학 문제에서 사원수의 힘을 보여줍니다.
더 보기
저명한 수학자 테렌스 타오의 최신 arXiv 사전 출판물에서는 가우스 유니터리 앙상블(GUE) 및 그 소행렬의 고유값 분포를 고정된 인덱스에서 심층적으로 다룹니다. 행렬식 과정과 정교한 해석적 기법을 사용하여 고유값 간격에 대한 여러 추정치를 확립하고, 이전에는 해결되지 않았던 문제들을 해결하며 GUE 경계 조건을 가진 '벌집'의 극한 행동에 대한 미래 연구의 길을 엽니다. 이 연구는 랜덤 행렬 모델 및 관련 분야의 이해에 크게 기여합니다.
더 보기