Webtagr - Résumé de news de technologie

Formalisation de l'Analyse I dans Lean : un projet d'apprentissage interactif

2025-05-31

L'auteur formalise son manuel d'analyse réelle vieux de 20 ans, « Analyse I », à l'aide de l'assistant de preuve Lean. Il ne s'agit pas d'une simple traduction ; cela implique de convertir les définitions, les théorèmes et les exercices en code Lean. Les lecteurs peuvent effectuer les exercices en remplissant les « sorries » dans le code, en apprenant Lean et la bibliothèque Mathlib au fur et à mesure. Le projet comprend actuellement plusieurs sections traduites, effectuant une transition stratégique de la construction « manuelle » des nombres naturels à la bibliothèque standard Mathlib. L'auteur invite les bénévoles à tester et à améliorer le projet.

Lire plus

(terrytao.wordpress.com)

Développement analyse réelle

Assistant de preuve mathématique interactif construit avec Python et SymPy

2025-05-13

Un développeur a créé un assistant de preuve mathématique interactif utilisant Python et la bibliothèque SymPy. Il prouve semi-automatiquement les estimations asymptotiques impliquant des fonctions scalaires. Imitant l'assistant de preuve Lean, l'outil prend en charge l'arithmétique linéaire et l'arithmétique log-linéaire, permettant aux utilisateurs de guider le processus de preuve en fournissant des tactiques de haut niveau. Actuellement fonctionnant en mode interactif Python, une interface utilisateur graphique est prévue pour l'avenir. Le développeur a l'intention d'étendre l'outil pour gérer un éventail plus large de tâches mathématiques, telles que l'estimation des normes d'espaces fonctionnels.

Lire plus

(terrytao.wordpress.com)

Développement

Repenser les ordres d'infinité avec l'analyse non standard : une approche algébrique

2025-05-04

Cet article explore une nouvelle approche pour l'étude de la notation asymptotique et des ordres d'infinité à l'aide de l'analyse non standard. L'analyse traditionnelle repose sur des arguments complexes epsilon-delta pour gérer les ordres d'infinité. Cependant, l'analyse non standard masque habilement de nombreux quantificateurs grâce à l'introduction d'ultrafiltres, transformant le problème en un problème de nature plus algébrique. L'article montre que, dans le cadre non standard, les ordres d'infinité forment un espace vectoriel totalement ordonné et possèdent une propriété de complétude qui rappelle la complétude des nombres réels. Cette approche algébrique simplifie les calculs avec la notation asymptotique, notamment en calcul symbolique, mais sacrifie la capacité d'extraire des constantes explicites.

Lire plus

(terrytao.wordpress.com)

Développement analyse non standard notation asymptotique ordres d'infinité

Automatisation de la vérification des estimations asymptotiques : un outil Python

2025-05-02

Cet article décrit un outil Python permettant de vérifier automatiquement les estimations asymptotiques, en particulier celles impliquant un nombre fini de nombres réels positifs combinés à l’aide d’opérations arithmétiques telles que l’addition, la multiplication, la division, l’exponentiation et les fonctions min/max. L’outil utilise la division en cas et la programmation linéaire pour déterminer automatiquement si une inégalité est vraie, en fournissant une preuve ou un contre-exemple. L’auteur illustre l’utilité de l’outil à l’aide d’exemples personnels et discute des améliorations futures, telles que la gestion d’expressions plus complexes et l’intégration dans les plates-formes logicielles mathématiques existantes.

Lire plus

(terrytao.wordpress.com)

Développement estimations asymptotiques vérification automatique

Décomposition des factorielles en grands facteurs : progrès sur une vieille conjecture

2025-03-28

Un nouvel article étudie le problème de la factorisation d'une factorielle en facteurs aussi grands que possible. Erdős et d'autres ont proposé une conjecture à ce sujet, mais la preuve a été perdue. Cet article, utilisant des applications intelligentes du théorème des nombres premiers et une factorisation approximative, fournit de nouvelles bornes supérieures et inférieures, résolvant partiellement ce problème de longue date et offrant de nouvelles voies pour résoudre complètement les conjectures restantes.

Lire plus

(terrytao.wordpress.com)

Développement combinatoire

Percée majeure : la conjecture de Kakeya en 3D résolue

2025-03-02

Une avancée majeure en théorie de la mesure géométrique ! Le pré-print de Hong Wang et Joshua Zahl résout l’infâme conjecture de l’ensemble de Kakeya en trois dimensions. Cette conjecture affirme qu’un ensemble de Kakeya – un sous-ensemble contenant un segment de droite unitaire dans chaque direction – doit avoir une dimension de Minkowski et de Hausdorff égale à trois. La preuve, longue de 127 pages, utilise un argument d’induction itérative traitant avec finesse les cas « adhérents » et « non adhérents ». Ce résultat marquant s’appuie sur des décennies de travaux, intégrant des découvertes antérieures et des idées nouvelles, marquant un jalon significatif en théorie de la mesure géométrique.

Lire plus

(terrytao.wordpress.com)

Mathématiques Conjecture de Kakeya Théorie de la mesure géométrique Percée mathématique

Comment les mathématiques ont illuminé l'Amérique : la fonction paysage et la révolution énergétique des LED

2025-02-24

La consommation d'électricité résidentielle aux États-Unis a légèrement diminué ces dernières années, principalement grâce à des améliorations de l'efficacité de l'éclairage, en particulier l'adoption généralisée des ampoules LED. Derrière cette révolution énergétique se cache un moteur inattendu : une percée en mathématiques pures - la fonction paysage. Initialement une découverte purement mathématique, cette fonction est désormais au cœur de la conception de LED efficaces. Grâce à des simulations numériques, la fonction paysage a aidé les chercheurs à surmonter le « fossé vert » (le manque de LED vertes efficaces), accélérant la R&D des LED et permettant aux consommateurs américains d'économiser des milliards de dollars en coûts énergétiques.

Lire plus

(terrytao.wordpress.com)

Technologie

Décrypter la trigonométrie sphérique avec les quaternions

2025-01-30

Cet article exploite les propriétés algébriques des quaternions pour dériver une « équation maîtresse » de la trigonométrie sphérique, démontrant élégamment la loi des cosinus sphériques, la loi des sinus sphériques et les règles de Napier. L'auteur relie habilement les quaternions aux relations entre les côtés et les angles des triangles sphériques, utilisant des rotations et des produits scalaires pour dériver des formules concises et élégantes. Des applications à des problèmes pratiques, comme le calcul des heures du lever et du coucher du soleil, sont discutées, mettant en évidence la puissance des quaternions dans les problèmes géométriques.

Lire plus

(terrytao.wordpress.com)

Divers trigonométrie sphérique

Nouvel article de Tao : Approfondissement de la distribution des valeurs propres de GUE et de ses mineurs

2024-12-22

Dans son dernier preprint sur arXiv, le mathématicien renommé Terence Tao approfondit la distribution des valeurs propres de l'ensemble unitaire gaussien (GUE) et de ses mineurs à indices fixes. Utilisant des processus déterminantaux et des techniques analytiques sophistiquées, l'article établit plusieurs estimations concernant les écarts entre valeurs propres, répondant à des questions précédemment sans réponse et ouvrant la voie à des travaux futurs sur le comportement limite des « ruches » avec des conditions aux limites GUE. Cette recherche contribue de manière significative à la compréhension des modèles de matrices aléatoires et des domaines connexes.

Lire plus

(terrytao.wordpress.com)

Développement matrices aléatoires distribution des valeurs propres