この記事では、過去40年間の二次形式の代数理論における主要な進歩を概観し、代数幾何学的手法の導入がどのようにこの分野に革命をもたらしたかに焦点を当てています。古代バビロニアや古代ギリシャにおける初期の研究から、フェルマーやラグランジュによる画期的な定理に至るまで、その概念の起源をたどり、ミルナー予想の解決と、二次超曲面や代数的サイクルなどの代数幾何学的手法を用いた二次形式の研究における新しいアプローチを強調しています。この記事では、二次形式に関連する体の不変量（u不変量とピタゴラス数）についても考察し、二次形式の次元と分裂パターンに関する未解決の問題について議論しています。
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この記事では、Lean証明支援システムを用いて、線形代数における固有ベクトルの線形独立性に関する簡単な定理を形式的に検証した著者の経験について詳述しています。この記事では、Leanの構文、Mathlibライブラリの使用方法、および自動化ツールが証明プロセスをどのように簡素化するのかを説明します。著者らは、定理の改良と一般化を探求し、Mathlibのバージョン管理とコミュニティコラボレーションを紹介しています。最後に、この記事では、証明支援システムとAIが将来の数学研究において果たす役割について展望しています。
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この記事では、グラフ理論における重要なパラメータである木幅について詳しく解説します。木幅は木分解を用いて定義され、グラフの構造特性を特徴づけ、アルゴリズムの複雑さと密接に関連しています。この記事では、木幅の複数の同値な定義、その構造特性、計算方法を紹介し、疎な数値線形代数、ベイズ推論、ゲーム理論、低次元位相幾何学、ネットワーク科学、代数幾何学などへの幅広い応用について説明します。また、関連する幅パラメータの進歩と、木幅を用いてグラフアルゴリズムの効率を向上させる方法についても議論します。
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