函数即向量：线性代数的无限维扩展
2025-07-06
这篇文章探讨了将函数视为无限维向量这一概念，并展示了如何将线性代数的工具应用于图像处理、几何处理、曲线拟合、光线传输和机器学习等领域。文章从有限维向量空间的概念出发，逐步引入了无限维向量空间，并证明了函数构成了一个向量空间。随后，文章讨论了线性算子、微分、拉普拉斯算子等概念，并阐述了谱定理在函数空间中的应用，最终引出了傅里叶级数、图像压缩和球谐函数等应用案例。
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这篇文章探讨了将函数视为无限维向量这一概念，并展示了如何将线性代数的工具应用于图像处理、几何处理、曲线拟合、光线传输和机器学习等领域。文章从有限维向量空间的概念出发，逐步引入了无限维向量空间，并证明了函数构成了一个向量空间。随后，文章讨论了线性算子、微分、拉普拉斯算子等概念，并阐述了谱定理在函数空间中的应用，最终引出了傅里叶级数、图像压缩和球谐函数等应用案例。
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本文深入浅出地讲解了可微编程，从微积分中的导数定义出发，逐步解释了梯度、方向导数和雅可比矩阵的概念。文章详细阐述了数值微分、符号微分和自动微分（正向模式和反向模式）三种微分方法，并比较了它们的优缺点。最后，文章通过一个图像去模糊的案例，演示了如何利用反向模式自动微分结合梯度下降法解决实际优化问题。
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本文介绍了蒙特卡洛方法中两种重要的采样技术：拒绝采样和坐标变换。拒绝采样通过在简单区域内采样，并根据接受概率过滤样本，实现对复杂区域的采样。文章详细推导了拒绝采样的概率密度函数，并扩展到非均匀分布的情况。坐标变换则利用雅可比行列式，将简单区域的采样映射到复杂区域，从而实现高效采样。文章以单位圆为例，展示了如何利用极坐标变换实现均匀采样。两种方法各有优劣，拒绝采样简单易懂，但效率依赖于接受概率；坐标变换高效，但需要找到合适的坐标变换。
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