本文探讨了约旦代数、八元数和李奇格之间的深层联系。文章从20世纪30年代帕斯卡·乔丹对厄米特矩阵代数性质的探索开始，引出形式上实的约旦代数及其分类，其中包含一个特殊的27维例外约旦代数。基于此，文章介绍了由约旦代数构造射影空间的方法，并重点讲解了由例外约旦代数生成的八元数射影平面。最后，文章深入探讨了一个由八元数厄米特矩阵构成的奇异时空，以及其中一个独特的积分单模格——李奇格，并指出该格在E6群作用下具有两个不同的轨道，这与通常的理解有所不同。
本文探讨了著名的Collatz猜想，以及它与密码学中ARX算法（例如ChaCha）的关联。Collatz猜想描述了一个简单的迭代函数，其最终结果是否总是收敛到1，至今仍未得到证明。文章将Collatz函数与图灵机进行类比，并指出其基于位运算的实现中，加法运算的进位传播特性导致了其难以预测的复杂性，这与ARX算法中利用加法、旋转和异或运算实现高效扩散的原理形成了有趣的对比。文章暗示，Collatz猜想的未解之谜可能与计算的固有复杂性有关，如同停机问题一样难以解决。
两位数学家王和扎尔证明了困扰数学家多年的三维Kakeya猜想。这个猜想与傅里叶变换密切相关，其证明如同建造一座“梦想之塔”，解决了困扰谐波分析领域的一系列难题。他们的方法类似于“永动机”，通过巧妙的计算步骤不断提高边界，最终达到了三维空间的维度。这项突破为更高维度问题的研究打开了大门，也标志着该数学领域一个时代的到来。
2011年，一位4chan匿名用户在讨论《凉宫春日的忧郁》时，提出一个关于最短超排列的数学难题。这个问题与旅行商问题类似，至今仍未完全解决。但这位用户提出了一种此前未知的方法，估算出观看所有排列组合所需的最小集数，其公式为n!+(n-1)!+(n-2)!+n-3。数年后，数学家们才在动漫粉丝页面上发现并验证了这一结果，并将其发表在整数序列在线百科全书上，作者署名为“匿名4chan用户”。这一事件展现了互联网社区的非凡潜力，以及非专业人士对数学领域做出的意外贡献。
几何测度论领域取得重大突破！Hong Wang和Joshua Zahl的预印本论文解决了臭名昭著的三维Kakeya集合猜想。该猜想断言，包含所有方向单位线段的Kakeya集合，其Minkowski维数和Hausdorff维数都等于三。论文采用迭代归纳法，巧妙地处理了“粘性”和“非粘性”两种情况，最终证明了该猜想。这一结果历经多年努力，融合了诸多前人成果和全新思想，是几何测度论领域的一座里程碑。
本文简要介绍了n维几何代数R(p,q,r)。该代数由p个正向量、q个负向量和r个零向量生成，这些向量被称为生成元，记作eᵢ。代数包含实数标量，每个基n向量都平方为一个实数。两个向量的乘积或二向量的指数运算产生一个旋转子，可以表示旋转、平移等变换。代数中的一个一般元素称为多向量，它是标量、向量和n向量的线性组合。
数学家们发现，模块化形式这种特殊的函数，拥有无限的对称性，这些对称性来源于它在复平面上的特殊变换性质。这些变换将基本区域复制到整个上半平面，并通过特定的规则关联起来。虽然看似简单的几何操作，却蕴含着巨大的力量。Hecke的理论揭示了模块化形式存在于特定空间中，这使得我们可以利用其无限对称性来解决诸如“如何将整数表示为四个平方数之和”等问题。通过将数列转换成生成函数，如果该函数是模块化形式，则可以精确计算其系数，解锁无限的可能性。这为数学和物理学中许多问题的解决提供了强大的工具。
McKay猜想，一个自1970年代提出的关于有限群及其Sylow正规化子的数学难题，最终被Britta Späth和Michel Cabanes证明。这个猜想指出，一个有限群的重要数量与其Sylow正规化子（一个较小的子群）的相同数量相等。这项证明历经数十年，融合了上百年的有限群分类成果以及对李型群表示的深入研究，堪称数学领域的壮举，将极大简化群论研究，并可能带来实际应用。
本文探讨了看似简单的数轴背后隐藏的复杂性。作者指出，即使是整数，其存在和区分也值得深思。更令人震惊的是，数轴上大部分数字都是不可计算的，这意味着它们无法被精确表达或计算，超出了人类认知的范围。这挑战了我们对数字的理解，也揭示了数学世界中无尽的奥秘。
本文探讨了理查德·戴德金在1858年提出的戴德金分割理论，该理论为实数系统奠定了坚实的基础。戴德金巧妙地利用有理数的分割来定义实数，解决了实数系统中存在无理数“空隙”的问题。文章比较了戴德金分割与其他定义实数的方法，例如无限小数，并分析了戴德金分割的优缺点，以及其在数学史上的影响和意义。戴德金分割不仅解决了实数的定义问题，更重要的是开创了一种新的数学思维方式，即结构主义方法，强调数学对象之间的关系而非对象本身的本质。
本文利用四元数的代数性质，推导出球面三角学的“主方程”，并以此简洁地证明了球面余弦定理、球面正弦定理以及纳皮尔规则。作者巧妙地将四元数与球面三角形的边角关系联系起来，通过旋转和内积运算，导出简洁优美的公式，并讨论了其在计算日出日落时间等实际问题中的应用，展现了四元数在几何问题中的强大能力。
本文以生动形象的比喻，解释了四维空间的概念。作者通过二维生物观察三维物体，类比我们观察四维超立方体（超正方体）。文章深入浅出地讲解了如何通过截面理解四维几何，并运用旋转矩阵和线性代数知识，计算和可视化旋转后的四维超立方体在三维空间中的投影，最终呈现出复杂的几何形态。
19世纪，魏尔斯特拉斯发明了一个看似简单的函数，却引发了数学界的巨大震动。这个函数处处连续却处处不可微，如同一个无限锯齿状的梳子，无论放大多少倍都保持其粗糙的形态。它挑战了当时数学家们对微积分的认知，迫使他们重新审视并严格定义连续性和可微性，最终推动了现代分析学的诞生。这个“数学怪兽”不仅具有理论意义，还在布朗运动等领域找到了实际应用，证明了数学世界中存在着无限的可能性。
文氏图，这个简单的图形工具，其历史和应用远超乎我们的想象。它不仅是课堂上的视觉辅助工具，更引发了一系列深刻的几何学问题。文章探讨了文氏图的历史，以及其在逻辑学和集合论中的应用。尤其引人注目的是，四个以上集合的文氏图绘制面临的挑战，以及数学家们为寻找更优雅的表示方法所做的努力。这不仅仅是关于图形的绘制，更是对数学之美和人类求知欲的探索。
三百多年来，数学家们一直苦苦追寻球体“亲吻”问题的答案——给定一个中心球体，有多少个相同大小的球体可以与其相切而不重叠？这项被称为“亲吻数”的问题，在三维空间中已被证明答案为12，但在更高维度空间中仍然是个谜。最近，麻省理工学院的本科生Anqi Li和她的教授Henry Cohn另辟蹊径，通过打破传统对称性假设，采用一种“非对称”的策略，改进了17到21维空间中球体亲吻数的估计，取得了自上世纪60年代以来的首次突破。这项研究颠覆了传统的基于信息论和纠错码的解题思路，为解决这一长期未解之谜提供了新的方向。
本文延续了前一篇博文，利用Langton蚂蚁算法对Collatz猜想进行可视化。通过模拟蚂蚁在格点上的移动，作者观察到具有相似最终形态的Collatz序列往往具有相近的停止时间。然而，反过来并不成立：停止时间相同的序列，其轨迹可能差异显著。作者通过计算不同起始数字的Collatz序列的交集大小，量化了序列间的相似性，并发现起始数字差异较小时，序列形态相似性较高，但随着差异增大，相似性逐渐下降。这项研究为理解Collatz猜想的复杂性提供了一种新的视角。
斯蒂芬·沃尔夫勒姆探讨了一个困扰数学界多年的难题：一个简洁的布尔代数公理的证明。该证明由沃尔夫勒姆使用自动化定理证明系统生成，但却极其复杂，以至于没有人能够理解它。文章深入探讨了证明的细节，包括其“机器代码”层面的运作机制，并提出了一个挑战：用人类可理解的方式解释这个证明。文章还探讨了大型语言模型（LLM）在理解和简化证明方面的潜力，以及这个难题对未来数学发展的影响，最终得出结论：一些数学证明可能本质上是不可理解的，这预示着数学将更像一门实验科学。
文章讲述了数学家Apéry在1978年证明ζ(3)（黎曼ζ函数在3时的值）为无理数的传奇故事。他的证明当时遭到同行质疑，甚至引发了会议现场的混乱。然而，Apéry最终被证明是正确的。多年来，数学家们试图扩展Apéry的方法，却进展缓慢。直到最近，Calegari、Dimitrov和Tang三位数学家发展了一种更强大的方法，证明了包括ζ(3)在内的一系列类似ζ函数值的无理性，解决了困扰数学界数十年的难题。这项突破不仅在于其结果，更在于其方法的普适性，为未来更多无理数证明提供了新的工具。
长久以来，数学家认为确定实数的总数是个无法解答的问题。一篇新的证明却表明情况并非如此。文章讲述了数学家Asperó和Schindler如何证明两个曾被认为是互相竞争的无限数学基础公理实际上是相互蕴含的。这一发现支持了连续统假设为假的观点，并指出在143年前被假设为第一个和第二个无限大数之间存在一个额外的无限大小。虽然这一结果在数学界引起了巨大的兴奋和争论，但关于无限集合大小的争论远未结束。
本文介绍了一种称为“乘性无穷小”的新概念，它与传统的加性无穷小对应，并用于构建一种新的微积分体系。与基于差分的传统微积分不同，乘性微积分基于商，使用类似于莱布尼茨符号的记法，但用“q”代替“d”，表示对一个表达式进行乘性扰动。作者通过对数运算和指数运算建立了“q”和“d”之间的关系，并将其应用于弹性理论和乘性导数的计算。该方法可能为解决传统方法难以处理的某些问题提供新的思路。
本文探讨了偏导数循环恒等式，即∂z/∂x * ∂x/∂y * ∂y/∂z = -1，而非直觉的1。文章通过一个例子和多种证明方法，包括微分形式和几何解释，揭示了这个看似违反直觉的恒等式背后的数学原理。作者还探讨了该恒等式在物理学中的应用，并解释了其背后的直观理解。
两位数学家Ben Green和Mehtaab Sawhney通过巧妙地运用Gowers范数这一工具，证明了存在无限多个形如p² + 4q²的素数，其中p和q也都是素数。这项研究不仅加深了人们对素数分布的理解，更重要的是，它将Gowers范数这一原本应用于不同数学领域的工具引入素数计数，展现了其强大的潜力，为未来素数研究开辟了新的方向。