2024年对于数学界而言是激动人心的一年，一系列里程碑式的成果接踵而至。九位数学家完成了长达800页的几何朗兰兹纲领猜想证明，这一成就被誉为“皇冠上的明珠”，它将数学不同领域巧妙地联系起来。此外，在几何领域也有多个重大突破，有些解决了长期悬而未决的猜想，有些则提供了令人惊讶的反例。与此同时，人工智能在数学领域的影响力日益增强，谷歌DeepMind的AlphaProof模型在国际数学奥林匹克竞赛中表现出色，甚至可以作为数学研究的“副驾驶”。2024年取得的这些进展，不仅标志着数学研究的重大突破，也预示着AI技术将深刻地改变数学研究的未来。
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两百年前，法国工程师卡诺首次提出熵的概念，用以量化宇宙不可逆转的衰变过程。然而，现代物理学对熵的理解已超越了简单的“无序”概念，转而将其视为观察者对系统认识的局限性。这种新的视角揭示了信息与能量的深层联系，并推动了纳米尺度上的技术变革。从卡诺的蒸汽机到现代信息引擎，熵的概念不断演变，它不仅帮助我们理解宇宙的运行规律，更促使我们重新思考科学的意义和我们在宇宙中的角色。
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今年，科学家发现了三种新型二维超导材料，它们以意想不到的方式挑战了人们对超导性的理解。这些材料如同魔术般，可以通过调整角度和电场等方式，在绝缘体、导体和超导体之间自由切换。其中一种超导体甚至在磁场中表现出更强的超导性，彻底颠覆了传统的理论认知。这些发现不仅加深了人们对超导机制的困惑，也为开发室温超导体带来了新的希望，有望推动能源和交通等领域的技术革命。
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两位数学家Ben Green和Mehtaab Sawhney通过巧妙地运用Gowers范数这一工具，证明了存在无限多个形如p² + 4q²的素数，其中p和q也都是素数。这项研究不仅加深了人们对素数分布的理解，更重要的是，它将Gowers范数这一原本应用于不同数学领域的工具引入素数计数，展现了其强大的潜力，为未来素数研究开辟了新的方向。
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最新研究发现，鲑鱼和鳟鱼等鱼类的大脑中存在健康的微生物群落，这一发现对“健康脊椎动物大脑中存在微生物群”这一观点提供了有力证据。科学家们通过提取鱼脑DNA并与其他器官的微生物DNA进行比较，发现某些细菌具有穿越血脑屏障并在脑组织中生存的特殊机制。尽管鱼类和人类生理结构存在差异，但该研究表明人类大脑也可能存在微生物群的可能性，并可能在神经生物学中发挥重要作用。
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2021 年秋季，多伦多大学数学系研究生 Malors Espinosa 向高中生提出了一个挑战性的数学问题：证明所有绳结都可以在名为门格尔海绵体的分形中找到。三位高中生 Joshua Broden、Noah Nazareth 和 Niko Voth 在 Malors 的指导下，通过将绳结的弧形表示与门格尔海绵体的面部结构联系起来，成功证明了所有绳结都可以在门格尔海绵体中找到。他们进一步研究了在四面体版本的门格尔海绵体中嵌入绳结的可能性，尽管这个问题对于某些类型的绳结仍然悬而未决。这项研究不仅为理解分形结构的复杂性提供了新的思路，还可能激发新的艺术形式。
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数学家David Bessis认为，每个人都具备数学思维能力，并能从中受益。数学并非只是公式和符号，而是一个在直觉和逻辑之间不断往复的游戏。每个人都在无意识地进行数学思考，例如在大脑中想象图形或进行简单的运算。数学能力可以通过练习提升，并非只有天才才能掌握。通过培养数学思维，人们可以获得快乐、清晰的思路和自信。
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文章用通俗易懂的语言解释了公钥加密的工作原理。公钥加密的核心在于使用一对密钥：公钥和私钥。公钥可以公开发布，用于加密信息，而私钥则由个人秘密保管，用于解密信息。文章将密钥比作隐形墨水的两种成分，一种使信息消失（加密），另一种使信息重现（解密）。公钥加密依赖于单向易于计算但反向难以计算的陷门函数，例如大素数的乘积。文章还简要介绍了公钥加密的历史、应用（如数字签名和加密货币）以及面临的量子计算挑战。
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哈佛大学的Noam Elkies和拉霍亚通信研究中心的Zev Klagsbrun两位数学家发现了一条具有破纪录的复杂模式的椭圆曲线，其秩至少为29，打破了Elkies本人在2006年创造的28秩的记录。这一发现涉及到数学中最古老和最基本的方程类型之一，椭圆曲线。椭圆曲线的秩反映了其上有理点的复杂程度，秩越高，曲线上的有理点就越多样化。这一发现对理解椭圆曲线的性质具有重要意义，但同时也引发了关于椭圆曲线秩是否存在上限的争论。
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奥地利因斯布鲁克大学的物理学家Francesca Ferlaino团队在实验室中创造了一种名为“超固体”的奇异物质状态，并观察到其中存在的量子漩涡。超固体同时具有固体的刚性和流体的流动性，其存在已有多年理论预测，但一直缺乏确凿证据。该团队利用激光和磁脉冲将稀土金属原子冷却至极低温度，使其形成超固体，然后通过旋转磁场诱导出微小的量子漩涡。这一发现不仅证实了超固体的存在，还可能有助于解释从中子星到高温超导体等一系列系统的特性。研究人员认为，超固体内部的漩涡运动可能解释了脉冲星（旋转的中子星）的突然加速现象。
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数学界长期以来认为成立的“双层床猜想”近日被三位数学家推翻。该猜想涉及图论和渗流理论，它断言在类似双层床结构的图中，底层图中两点间存在路径的概率总是大于或等于底层图中一点到上层图对应点之间存在路径的概率。研究人员最初尝试用计算机和机器学习寻找反例，但未能得到确凿的证据。最终，他们利用另一位数学家在超图领域的研究成果，成功构建了一个包含7222个顶点和14422条边的反例图，证明上层路径存在的概率略高于底层路径，从而推翻了该猜想。这一结果引发了对数学证明本质的讨论，尤其是在计算机和人工智能辅助证明越来越普遍的背景下。
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本文介绍了真核生物的起源和进化。真核生物是所有复杂多细胞生命的祖先，其关键特征是拥有细胞器，例如细胞核和线粒体。科学家认为，真核生物起源于约20亿至30亿年前，一个古细菌细胞吞噬了一个细菌细胞，后者最终进化成线粒体。最近的研究表明，阿斯加德古细菌可能是真核生物最接近的原核生物亲戚，它们的一些特征为真核生物的起源提供了线索，例如其可能通过臂状突起捕获食物。然而，真核生物的起源仍有很多谜团，例如内共生过程的细节以及线粒体是否为第一个内共生体等问题，仍待进一步研究。
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这篇来自Quanta Magazine的文章探讨了人类大脑如何理解和处理“零”这个抽象概念。研究表明，尽管零在数学和历史上具有特殊性，但大脑在处理零时，与处理其他数字的方式相似，将其视为数字线上的一个点。然而，大脑中编码零的神经元数量多于其他数字，这表明零可能在大脑中拥有特殊地位。文章还探讨了零的概念如何从“无”的概念演变而来，以及这如何帮助我们理解大脑如何处理“不存在”的概念。
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文章探讨了超大质量黑洞合并的“最终秒差距”难题，即两个星系中心的超大质量黑洞在相互靠近到一定距离时，会停止继续靠近，无法完成合并。文章介绍了科学家提出的几种解决方案，包括自相互作用暗物质产生的摩擦力、模糊暗物质的波动效应、恒星的引力作用、黑洞周围气体盘的吸积效应以及第三个黑洞的引力扰动等。最后，文章指出可以通过未来的观测数据来验证这些理论，例如脉冲星计时阵列和激光干涉空间天线等。
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斯里尼瓦瑟·拉马努金是一位英年早逝的印度数学天才，他以其在数论、无穷级数和连分数方面的非凡贡献而闻名。拉马努金的研究成果深刻影响了数学的多个领域，包括代数几何、组合数学、统计物理学等。他的“分拆恒等式”尤为引人注目，揭示了看似无关的数学领域之间惊人的联系，例如数论和表示论。一个多世纪以来，数学家们一直在努力理解和扩展拉马努金的成果，不断发现新的应用和联系，例如利用分拆恒等式来检测素数。拉马努金的传奇故事证明了数学世界的神奇与和谐，也激励着一代又一代的数学家不断探索未知领域。
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本文介绍了数学家赫克托·帕斯滕在数论领域取得的重大突破。他通过将数论序列 n² + 1 嵌入椭圆曲线方程，证明了该序列中数字的最大质因数的增长速度比之前认为的更快。这项工作对理解加法和乘法之间的关系具有重要意义，并可能推动解决数论中其他未解问题，例如abc猜想。
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最新研究表明，即使是寿命只有几个小时的单细胞生物，也能感知昼夜长度的变化，并为即将到来的冬天做好准备。蓝藻，一种通过光合作用产生能量的细菌，可以通过改变细胞膜的分子组成等方式来适应寒冷的温度。这一发现表明，对季节变化的感知能力比我们想象的更为普遍，甚至可能早于生物钟的出现。
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文章介绍了统计学中处理缺失数据的一种重要方法——多重插补法。该方法由统计学家唐纳德·鲁宾于上世纪70年代提出，旨在解决单一插补法存在的过度自信问题。多重插补法通过多次随机猜测缺失值，并根据概率分布进行加权平均，从而更准确地估计结果，并更好地反映预测的不确定性。近年来，随着计算机技术的发展和机器学习的应用，多重插补法在医学、社会学等领域得到越来越广泛的应用。
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三位计算机科学家成功将零知识证明和概率可验证证明这两种证明方法的理想版本结合起来，创造了一种既能保证信息完全保密又能分散信息的新型证明方法。这种方法被称为“完美零知识PCP”，它可以应用于计算NP问题（如地图着色问题）的解的数量，并通过在多维数字表中添加随机性来隐藏信息，同时允许验证者检查随机性是否没有扭曲最终结果。
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20世纪物理学巨匠约翰·惠勒穷其一生都在思考空间和时间的本质，以及我们如何共享同一个时空。他认为时空并非宇宙的最终结构，在其之下存在着更深层的现实，即“前几何”。惠勒从对“geons”和“虫洞”的研究开始，到提出“黑洞”的概念，再到“延迟选择实验”，最终将“前几何”归结为“观察者参与”，认为宇宙是由无数观察者参与创造的。然而，他无法解释不同观察者如何协调整合他们的观察结果以构建统一的现实，这个问题困扰了他一生。
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本文介绍了群论，它是现代数学的一个基本概念。群由一组元素和一个运算组成，满足闭合性、结合律、单位元和逆元的存在性。群论被用于研究从整数到三角形对称性等各种数学结构，并应用于密码学、病毒学和物理学等领域。
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科学家们成功利用钍-229原子核中一种特殊的跃迁现象，研制出名为“核钟”的超精密计时器。这种跃迁对自然界四种基本力的变化极其敏感，未来可用于验证物理定律是否随时间推移而发生改变，例如弦理论预测的基本常数变化，以及暗物质理论中轴子密度变化对力的影响。
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迷走神经是人体最长的神经，它从大脑延伸到全身各个器官，负责传递感觉信息和控制器官功能。迷走神经在调节情绪、学习、恐惧反应等方面发挥着重要作用，是连接身心健康的桥梁。目前，科学家正在研究利用电刺激迷走神经来治疗癫痫、抑郁症等神经和心理疾病。
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本文介绍了行军蚁在没有领导者的情况下如何通过简单的算法协作搭建桥梁。研究发现，当遇到障碍物时，蚂蚁会根据“感觉”到背上的同伴数量来决定是否停下来充当桥梁的一部分。如果交通流量大，它们就会停下来；如果流量减少，就意味着已经有足够的蚂蚁参与搭建桥梁，它们就会重新加入行军队伍。这种简单的算法使得行军蚁能够高效地跨越障碍物，同时又能在需要的时候灵活调整策略。
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长期以来，极端黑洞在数学上被认为是不可能存在的。然而，一项新的数学证明颠覆了这一认知，表明在已知的物理定律中，没有任何法则阻止极端黑洞的形成。这一突破性发现挑战了传统的物理学观点，并暗示宇宙可能比我们想象的更加丰富多彩。
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文章讨论了天文学家利用詹姆斯·韦伯太空望远镜观测宇宙膨胀率（哈勃常数）的最新进展。参与研究的两个团队分别由 Adam Riess 和 Wendy Freedman 领导。Riess 团队的测量结果显示哈勃常数高于理论预测值，而 Freedman 团队的测量结果更接近理论值。Freedman 团队怀疑是测量误差导致了差异，并利用韦伯望远镜观测了三种类型的恒星以改进测量方法。最终，他们的研究结果显示，不同类型恒星的观测结果存在差异，暗示哈勃常数的争议仍未解决。
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