本文回顾了四十年来二次型代数理论的重大进展，特别是代数几何方法的引入如何彻底改变了该领域。文章追溯了二次型概念的起源，从古巴比伦和古希腊的早期工作到费马和拉格朗日的里程碑式定理。重点介绍了米尔诺猜想的证明，以及利用代数几何工具（如二次超曲面和代数循环）研究二次型的新方法。文章还探讨了与二次型相关的场的不变量（u-不变量和毕达哥拉斯数），并讨论了关于二次型维数和分裂模式的开放性问题。
阅读更多
本文讲述了作者使用Lean证明助手，形式化验证一个关于线性代数中特征向量线性无关性的简单定理的过程。文章详细解释了Lean的语法、Mathlib库的使用，以及如何利用自动化推理工具简化证明过程。作者还探讨了如何改进和推广该定理，并介绍了Mathlib库的版本控制和社区协作模式。最后，文章展望了证明助手和AI技术在未来数学研究中的作用。
阅读更多
本文深入探讨了图论中一个关键参数——树宽。树宽通过树分解定义，刻画了图的结构特性，并与算法复杂性密切相关。文章介绍了树宽的多种等价定义、结构特性以及计算方法，并阐述了其在稀疏数值线性代数、贝叶斯推理、博弈论、低维拓扑学、网络科学和代数几何等领域的广泛应用。作者还介绍了树宽相关参数的研究进展，以及如何利用树宽改进图算法的效率。
阅读更多
本文讲述了作者从年少时参加国际奥数竞赛失利，到后来如何面对和克服学术生涯中的各种失望的经历。作者认为失望是痛苦的，但也同时是机遇，它促使我们反思自我，改变视角，最终获得成长。文章以作者收到竞赛失利通知后的心境转变为开篇，穿插引用了弗洛伊德、普鲁斯特、斯托林斯等名人的观点，并结合自身在学术道路上的经历，探讨了如何从失望中汲取教训，以及如何以更积极的心态面对成功与失败。
阅读更多