Webtagr - Technologienummer

Funktionen sind Vektoren: Erweiterung der linearen Algebra auf unendlich viele Dimensionen

2025-07-06

Dieser Artikel erforscht das Konzept von Funktionen als unendlich-dimensionale Vektoren und zeigt, wie die Werkzeuge der linearen Algebra auf eine Vielzahl von Problemen angewendet werden können, von der Bild- und Geometrieverarbeitung bis hin zur Kurvenanpassung, Lichttransport und maschinellem Lernen. Ausgehend von endlich-dimensionalen Vektorräumen schreitet er zu unendlich vielen Dimensionen fort und beweist, dass Funktionen einen Vektorraum bilden. Der Artikel vertieft sich dann in lineare Operatoren, Differentiation, den Laplace-Operator und die Anwendung des Spektralsatzes in Funktionsräumen und gipfelt in Anwendungsbeispielen wie Fourier-Reihen, Bildkompression und sphärische Harmonische.

(thenumb.at)

Entwicklung Funktionsräume Spektralsatz

Differenzierbare Programmierung: Ein tiefer Einblick von Grund auf

2025-04-17

Dieser Artikel bietet eine umfassende Erklärung der differenzierbaren Programmierung, beginnend mit der Definition von Ableitungen in der Analysis und fortschreitend zu Konzepten wie Gradienten, Richtungsableitungen und Jacobi-Matrizen. Er beschreibt drei Differentiationsmethoden: numerische Differentiation, symbolische Differentiation und automatische Differentiation (Vorwärts- und Rückwärtsmodus), wobei er deren Stärken und Schwächen vergleicht. Schließlich wird gezeigt, wie die automatische Differentiation im Rückwärtsmodus, kombiniert mit dem Gradientenabstieg, reale Optimierungsprobleme lösen kann, indem ein Beispiel für die Entzerrung von Bildern verwendet wird.

(thenumb.at)

Entwicklung differenzierbare Programmierung automatische Differentiation

Monte-Carlo-Sampling-Crashkurs: Ablehnungs-Sampling und Koordinatenwechsel

2025-04-14

Dieser Artikel stellt zwei wichtige Stichprobenverfahren in Monte-Carlo-Methoden vor: Ablehnungs-Sampling und Koordinatenwechsel. Ablehnungs-Sampling sticht eine einfachere Region ab und filtert Stichproben basierend auf einer Akzeptanzwahrscheinlichkeit, um das Abtasten einer komplexen Region zu erreichen. Der Artikel liefert eine detaillierte Herleitung der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion für Ablehnungs-Sampling und erweitert sie auf nicht-uniforme Verteilungen. Der Koordinatenwechsel verwendet die Jacobi-Determinante, um Stichproben von einer einfachen Region auf eine komplexe Region abzubilden, wodurch ein effizientes Sampling ermöglicht wird. Der Artikel verwendet die Einheitskreisscheibe als Beispiel und zeigt, wie man mit Hilfe der Transformation von Polarkoordinaten ein uniformes Sampling erreicht. Beide Verfahren haben ihre Vor- und Nachteile; Ablehnungs-Sampling ist einfach und leicht zu verstehen, aber seine Effizienz hängt von der Akzeptanzwahrscheinlichkeit ab; Koordinatenwechsel ist effizient, erfordert aber das Auffinden geeigneter Koordinatentransformationen.

(thenumb.at)

Entwicklung Monte-Carlo-Sampling Ablehnungs-Sampling Koordinatenwechsel