Webtagr - Technologienummer

Formalisierung von Analysis I in Lean: Ein interaktives Lernprojekt

2025-05-31

Der Autor formalisiert sein 20 Jahre altes Lehrbuch der reellen Analysis, „Analysis I“, mit dem Beweisassistenten Lean. Dies ist keine einfache Übersetzung; es beinhaltet die Umwandlung von Definitionen, Sätzen und Übungen in Lean-Code. Leser können die Übungen bearbeiten, indem sie die „Sorries“ im Code ausfüllen und dabei Lean und die Mathlib-Bibliothek kennenlernen. Das Projekt umfasst derzeit mehrere übersetzte Abschnitte und beinhaltet einen strategischen Übergang von der „manuellen“ Konstruktion natürlicher Zahlen zur Standardbibliothek Mathlib. Der Autor lädt Freiwillige ein, das Projekt zu testen und zu verbessern.

(terrytao.wordpress.com)

Entwicklung reelle Analysis

Interaktiver mathematischer Beweisassistent mit Python und SymPy

2025-05-13

Ein Entwickler hat einen interaktiven mathematischen Beweisassistenten mit Python und der SymPy-Bibliothek erstellt. Er beweist semi-automatisch asymptotische Abschätzungen, die skalare Funktionen beinhalten. In Anlehnung an den Lean-Beweisassistenten unterstützt das Tool lineare und logarithmisch-lineare Arithmetik und ermöglicht es Benutzern, den Beweisprozess durch die Bereitstellung von High-Level-Taktiken zu steuern. Derzeit läuft es im interaktiven Modus von Python, wobei eine grafische Benutzeroberfläche für die Zukunft geplant ist. Der Entwickler beabsichtigt, das Tool zu erweitern, um ein breiteres Spektrum an mathematischen Aufgaben zu bewältigen, z. B. die Schätzung von Funktionenraumnormen.

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Entwicklung

Unendliche Ordnungen neu gedacht: Ein algebraischer Ansatz mit nichtstandardmäßiger Analysis

2025-05-04

Dieser Artikel erforscht einen neuartigen Ansatz zur Untersuchung asymptotischer Notation und unendlicher Ordnungen mithilfe der nichtstandardmäßigen Analysis. Die traditionelle Analysis verwendet komplexe Epsilon-Delta-Argumente, um unendliche Ordnungen zu behandeln. Die nichtstandardmäßige Analysis hingegen versteckt geschickt viele Quantoren durch die Einführung von Ultrafiltern und verwandelt das Problem in eines mit stärker algebraischem Charakter. Der Artikel zeigt, dass im nichtstandardmäßigen Rahmen unendliche Ordnungen einen totalgeordneten Vektorraum bilden und eine Vollständigkeitseigenschaft besitzen, die an die Vollständigkeit der reellen Zahlen erinnert. Dieser algebraische Ansatz vereinfacht Berechnungen mit asymptotischer Notation, besonders in der symbolischen Berechnung, opfert aber die Möglichkeit, explizite Konstanten zu extrahieren.

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Entwicklung nichtstandardmäßige Analysis asymptotische Notation unendliche Ordnungen

Automatisierung der Verifikation asymptotischer Abschätzungen: Ein Python-Tool

2025-05-02

Dieser Beitrag beschreibt ein Python-Tool zur automatischen Verifikation asymptotischer Abschätzungen, insbesondere solcher, die eine endliche Anzahl positiver reeller Zahlen beinhalten, kombiniert mit arithmetischen Operationen wie Addition, Multiplikation, Division, Exponentiation und Minimum/Maximum. Das Tool verwendet Fallunterscheidungen und lineare Programmierung, um automatisch zu bestimmen, ob eine Ungleichung gilt, und liefert einen Beweis oder ein Gegenbeispiel. Der Autor veranschaulicht die Nützlichkeit des Tools anhand persönlicher Beispiele und diskutiert zukünftige Verbesserungen, wie z. B. die Behandlung komplexerer Ausdrücke und die Integration in bestehende mathematische Softwareplattformen.

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Entwicklung asymptotische Abschätzungen automatische Verifikation

Zerlegung von Fakultäten in große Faktoren: Fortschritte bei einer alten Vermutung

2025-03-28

Ein neuer Artikel untersucht das Problem der Faktorisierung einer Fakultät in möglichst große Faktoren. Erdős und andere stellten eine Vermutung dazu auf, aber der Beweis ging verloren. Dieser Artikel liefert mithilfe cleverer Anwendungen des Primzahlsatzes und einer approximativen Faktorisierung neue obere und untere Schranken, löst dieses langjährige Problem teilweise und bietet neue Wege zur vollständigen Lösung der verbleibenden Vermutungen.

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Entwicklung Kombinatorik

Durchbruch: 3D Kakeya-Vermutung gelöst

2025-03-02

Ein bedeutender Durchbruch in der geometrischen Maßtheorie! Der Preprint von Hong Wang und Joshua Zahl löst die berüchtigte dreidimensionale Kakeya-Mengen-Vermutung. Die Vermutung besagt, dass eine Kakeya-Menge – eine Teilmenge, die ein Einheitsliniensegment in jede Richtung enthält – die Minkowski- und Hausdorff-Dimension drei haben muss. Der Beweis, der 127 Seiten umfasst, verwendet ein iteratives Induktionsargument, das die „klebrigen“ und „nicht klebrigen“ Fälle geschickt behandelt. Dieses wegweisende Ergebnis baut auf jahrzehntelanger Arbeit auf, integriert frühere Erkenntnisse und neue Ideen und markiert einen bedeutenden Meilenstein in der geometrischen Maßtheorie.

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Mathematik Kakeya-Vermutung Geometrische Maßtheorie Mathematischer Durchbruch

Wie Mathematik Amerika erleuchtete: Die Landschaftsfunktion und die LED-Energierevolution

2025-02-24

Der Stromverbrauch amerikanischer Haushalte ist in den letzten Jahren leicht gesunken, hauptsächlich aufgrund verbesserter Beleuchtungseffizienz, insbesondere durch die weitverbreitete Einführung von LED-Lampen. Hinter dieser Energierevolution steckt ein unerwarteter Motor: ein Durchbruch in der reinen Mathematik – die Landschaftsfunktion. Ursprünglich eine rein mathematische Entdeckung, ist diese Funktion jetzt zentral für die Entwicklung effizienter LEDs. Durch numerische Simulationen hat die Landschaftsfunktion Forschern geholfen, die „grüne Lücke“ (das Fehlen effizienter grüner LEDs) zu überwinden, die LED-Forschung und -Entwicklung zu beschleunigen und amerikanischen Verbrauchern Milliarden von Dollar an Energiekosten einzusparen.

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Technologie

Sphärische Trigonometrie mit Quaternionen entschlüsseln

2025-01-30

Dieser Artikel nutzt die algebraischen Eigenschaften von Quaternionen, um eine „Master-Gleichung“ für die sphärische Trigonometrie abzuleiten und beweist elegant das sphärische Kosinusgesetz, das sphärische Sinusgesetz und die Regeln von Napier. Der Autor verbindet geschickt Quaternionen mit den Beziehungen zwischen den Seiten und Winkeln sphärischer Dreiecke und verwendet Drehungen und Skalarprodukte, um prägnante und elegante Formeln abzuleiten. Anwendungen auf praktische Probleme wie die Berechnung der Sonnenauf- und -untergangszeiten werden diskutiert und zeigen die Leistungsfähigkeit von Quaternionen bei geometrischen Problemen.

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Sonstiges Quaternionen sphärische Trigonometrie

Taos neuer Artikel: Untersuchung der Eigenwertverteilung von GUE und seinen Minoren

2024-12-22

In seinem neuesten arXiv-Preprint untersucht der renommierte Mathematiker Terence Tao die Verteilung der Eigenwerte des Gaußschen unitären Ensembles (GUE) und seiner Minoren bei festen Indizes. Mittels determinanter Prozesse und ausgefeilter analytischer Techniken werden verschiedene Abschätzungen für Eigenwertlücken hergeleitet, die zuvor ungelöste Fragen beantworten und die Grundlage für zukünftige Arbeiten zum Grenzverhalten von „Bienenstöcken“ mit GUE-Randbedingungen legen. Diese Forschung leistet einen bedeutenden Beitrag zum Verständnis von Zufallsmatrixmodellen und verwandten Gebieten.

(terrytao.wordpress.com)

Entwicklung Zufallsmatrizen Eigenwertverteilung